Vektorrechnung in Octave
In dieser Lektion erkläre ich, wie man die wichtigsten Vektorrechenoperationen in Octave mit einigen praktischen Beispielen durchführt.
Definieren Sie einen Spaltenvektor im 3-dimensionalen Raum.
>> v=[1; 3; 4;]
Definieren Sie einen weiteren Spaltenvektor im selben Raum
>> w=[2; 1; -1]
Hier sind einige mathematische Operationen zwischen den beiden Vektoren
Summe zweier Vektoren
Um die beiden Vektoren zu addieren, geben Sie v+w ein
>> v+w
ans =
3
4
3
Erklärung. $$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Differenz zwischen zwei Vektoren
Um die beiden Vektoren zu subtrahieren, geben Sie v-w ein
>> v-w
ans =
-1
2
5
Erklärung. $$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Multiplikation zwischen zwei Vektoren
Um zwei Spaltenvektoren zu multiplizieren, müssen Sie einen der beiden Vektoren in einen Zeilenvektor umwandeln. Dies geschieht durch Transposition.
Um einen Vektor in Octave zu transponieren, müssen Sie lediglich ein hochgestelltes Apostroph rechts vom Array-Variablennamen hinzufügen.
>> v*w'
ans =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4
Erklärung. $$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$
Die Multiplikation zwischen Vektoren respektiert nicht die Kommutativität. Daher gibt v '* w ein anderes Ergebnis als v * w'
>> v'*w
ans = 1
Erklärung. $$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$
Elementweise Multiplikation von Vektoren
Dies ist eine weitere Art der Vektormultiplikation. Die elementweise Multiplikation berechnet das Produkt der Elemente der Vektoren in der gleichen Position.
Um diese Art der Multiplikation durchzuführen, müssen Sie das Operator-Symbol .* verwenden
>> v*w
ans =
2
3
-4
Bei der elementweisen Multiplikation müssen beide Vektoren entweder Zeilenvektoren (oder Spaltenvektoren) sein und die gleiche Größe haben.
Erklärung. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$
Multiplikation des Vektors mit einem Skalar
Um einen Vektor mit einer Skalarnummer zu multiplizieren, zum Beispiel k = 2, schreiben Sie einfach 2*v
>> 2*v
ans =
2
6
8
Erklärung. $$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$
Teilung des Vektors durch einen Skalar
Ähnlich können Sie den Vektor durch einen Skalar teilen
>> v/2
ans =
0.5
1.5
2.0
Erklärung. $$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$
In diesen Beispielen habe ich Spaltenvektoren verwendet, aber die Angaben gelten auch, wenn Sie Zeilenvektoren verwenden.
Elementweise Teilung von Vektoren
Dies ist eine weitere Art der Teilung zwischen zwei Vektoren. Die elementweise Teilung berechnet den Quotienten der Elemente der Vektoren in der gleichen Position.
Um diese Art der Teilung durchzuführen, müssen Sie das Operator-Symbol ./ verwenden
>> v./v
ans =
0.5
3
-4
Bei der elementweisen Teilung müssen beide Vektoren entweder Zeilenvektoren (oder Spaltenvektoren) sein und die gleiche Größe haben.
Erklärung. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$
Potenzierung des Vektors Element für Element
Die Potenzierung Element für Element erhebt die Elemente des Vektors auf denselben Exponenten.
Um diese Art von Operation durchzuführen, müssen Sie das Operator-Symbol .^ verwenden.
>> v.^2
ans =
1
9
16
Bei der Potenzierung Element für Element müssen die beiden Vektoren beide Zeilenvektoren sein (oder beide Spaltenvektoren) und die gleiche Größe haben.
Erklärung. $$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$
