Matrixoperationen in Octave
In dieser Lektion erkläre ich, wie man die wichtigsten Matrixoperationen in Octave mit einigen praktischen Beispielen durchführt.
Bevor wir beginnen, erstellen Sie zwei Matrix-Arrays.
Schreiben Sie eine Matrix M1 mit zwei Zeilen und zwei Spalten. Es handelt sich um eine quadratische Matrix.
>> M1=[1 4;2 3]
M 1 =
1 4
2 3
Jetzt schreiben Sie eine weitere quadratische Matrix M2 mit zwei Zeilen und zwei Spalten.
>> M2=[3 1;7 5]
M2 =
3 1
7 5
Hier sind einige Operationen der Matrixrechnung
Matrixaddition
Um zwei Matrizen zu addieren, geben Sie M1 + M2 ein
>> M1+M2
ans =
4 5
9 8
$$ M1 + M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3 & 4+1 \\ 2+7 & 3+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 9 & 8 \end{pmatrix} $$
Matrixsubtraktion
Um die Differenz zwischen zwei Matrizen zu berechnen, geben Sie M1-M2 ein
>> M1-M2
ans =
-2 3
-5 -2
$$ M1 - M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & 4-1 \\ 2-7 & 3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} $$
Matrixmultiplikation
Um das Produkt zwischen zwei Matrizen zu berechnen, geben Sie M1 * M2 ein
>> M1*M2
ans =
31 21
27 17
$$ M1 \cdot M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 4 \cdot 7 & 1 \cdot 1 + 4 \cdot 5 \\ 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & 2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31 & 21 \\ 27 & 17 \end{pmatrix} $$
Bitte beachten Sie, dass Sie das Produkt zwischen zwei Matrizen nur berechnen können, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
Elementweise Matrixmultiplikation
Dies ist eine weitere Art der Matrixmultiplikation. Bei dieser Operation wird das Produkt der Elemente der Matrix-Arrays berechnet, die die gleiche Position einnehmen.
Um diese Art der Multiplikation zu berechnen, müssen Sie das Symbol .* verwenden
>> M1 .* M2
ans =
3 4
14 15
Bei der elementweisen Multiplikation müssen die beiden Matrizen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben.
$$ M1 \ .* \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 4 \cdot 1 \\ 2 \cdot 7 & 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 14 & 15 \end{pmatrix} $$
Skalare Matrixmultiplikation
Um eine Matrix mit einer Skalaren Zahl, zum Beispiel k = 2, zu multiplizieren, geben Sie 2 * M1 ein
>> 2*M1
ans =
2 8
4 6
Alle Elemente der Matrix werden mit der skalaren Zahl multipliziert.
$$ 2 \cdot M1 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 4 \\2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\4 & 6 \end{pmatrix} $$
Matrixdivision
In der linearen Algebra wird die Division zwischen zwei Matrizen berechnet, indem die erste Matrix mit der Inversen Matrix der zweiten multipliziert wird M1·M2-1.
Um diese Operation in Octave zu berechnen, geben Sie M1*inv(M2) ein
>> M1*inv(M2)
ans =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500
Alternativ können Sie auch M1/M2 eingeben
>> M1/M2
ans =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500
Das Ergebnis ist das Gleiche.
Elementweise Matrixdivision
Dies ist eine weitere Art der Matrixdivision. Bei dieser Operation wird der Quotient zwischen den Elementen der Arrays berechnet, die sich an der gleichen Position befinden.
Um diese Art der Division zu berechnen, müssen Sie das Symbol ./ verwenden
>> M1 ./ M2
ans =
0.33333 4.0000
0.28571 0.6000
Bei der elementweisen Division müssen die beiden Matrizen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben.
$$ M1 \ ./ \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{4}{1} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.33333 & 0.28571 \\ 4 & 0.6 \end{pmatrix} $$
Matrixdivision durch einen Skalar
Wenn Sie eine Matrix durch eine Skalare Zahl, zum Beispiel k = 2, teilen möchten, geben Sie M1 / 2 ein
>> M1/2
ans =
0.50000 2.00000
1.00000 1.50000
Die Elemente der Matrix werden durch die skalare Zahl geteilt.
$$ \frac{M1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 2 & \frac{1}{2} \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 2 \\ 1 & 1.5 \end{pmatrix} $$
Elementweise Matrixpotenzierung
Bei dieser Operation wird die Potenzierung aller Elemente der Matrix durch den gleichen Exponenten berechnet.
Um diese Art der Operation durchzuführen, müssen Sie das Symbol .^ verwenden
>> M1.^2
ans =
1 16
4 9
$$ M1 \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} $$
Matrixdeterminante
Um die Determinante einer quadratischen Matrix zu berechnen, verwenden Sie die Funktion det()
>> det(M1)
ans = -5
$$ \text{det} (M1) = det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = -5 $$
Rang
Um den Rang einer quadratischen Matrix zu berechnen, verwenden Sie die Funktion rank()
>> rank(M1)
ans = 2
Transponierte Matrix
Um eine Matrix zu transponieren, verwenden Sie die Funktion transpose()
>> transpose(M1)
ans =
1 2
4 3
Alternativ können Sie die Matrix transponieren, indem Sie nach dem Matrixnamen ein einzelnes Anführungszeichen hinzufügen
>> M1'
ans =
1 2
4 3
Bei der Transposition werden die Zeilen der Matrix zu Spalten. $$ \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$
Inverse Matrix
Um die Inverse Matrix zu berechnen, verwenden Sie die Funktion inv()
>> inv(M1)
ans =
-0.60000 0.80000
0.40000 -0.20000v$$ M1 \cdot \text{inv} (M1) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.6 & 0.8 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
