Wie man ein Gleichungssystem mit Octave löst

In dieser Lektion führe ich Sie durch den Prozess der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Octave, wobei wir Matrix- und Vektorrechnung nutzen.

Lassen Sie uns direkt in ein praktisches Beispiel einsteigen.

Unser Gleichungssystem setzt sich aus zwei linearen Gleichungen mit je zwei Variablen zusammen:

$$ \begin{cases} x+5y-3 = 0 \\ \\ 2x-4y+8=0 \end{cases} $$

Formulieren wir das System in der üblichen allgemeinen Form ax+by=c um

$$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$

Anschließend wandeln wir das Gleichungssystem in eine Vektorgleichung um

$$ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

Die erste Matrix, benannt als A, repräsentiert die Koeffizienten der Variablen x und y

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} $$

Definieren wir in Octave die Koeffizientenmatrix A mittels A=[1,5; 2,-4]

>> A = [ 1 , 5 ; 2 , -4 ]
A =
1 5
2 --4

Der erste Spaltenvektor enthält die Variablen, deren Werte wir ermitteln möchten

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Der zweite Spaltenvektor enthält die numerischen Terme

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

Wir definieren nun den Spaltenvektor der numerischen Terme in Octave mit b=[3; -8]

>> b = [ 3 ; -8 ]
b =
3
-8

In seiner Vektorform entspricht das Gleichungssystem dem Produkt einer Matrix und eines Vektors

$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$

Um die Lösungen für das Gleichungssystem zu finden, definieren wir den Vektor x als Funktion aller anderen Komponenten

$$ \vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} $$

Dabei ist A^-1 die Inverse der Koeffizientenmatrix A.

Jetzt berechnen wir in Octave den Ausdruck A^-1·b

>> inv(A)*b
ans =
-2
1

Das Resultat sind die Werte x und y unseres Variablenvektors

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Damit haben wir die Lösung unseres Gleichungssystems gefunden

$$ x=-2 $$

$$ y=1 $$

Das heißt, das Gleichungssystem hat die Lösung (x;y)=(-2;1).

Um sicherzugehen, dass unsere Lösung korrekt ist, setzen wir die Werte x=-2 und y=1 in unser ursprüngliches Gleichungssystem ein: $$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -2 + 5 \cdot 1 =3 \\ \\ 2 \cdot (-2) -4 \cdot 1 =-8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3 =3 \\ \\ -8 =-8 \end{cases} $$ Beide Gleichungen des Systems erfüllen sich, was bestätigt, dass die Lösung x=-2 und y=1 korrekt ist.