Die Funktion expand() in MATLAB

Ich möchte Ihnen eine in Matlab integrierte Funktion namens expand() vorstellen. Diese ist insbesondere dann von unschätzbarem Wert, wenn Sie mit Polynomen oder algebraischen Ausdrücken arbeiten.

expand(x)

Bei expand(x) geht es im Grunde darum, ein Polynom oder einen algebraischen Ausdruck zu entfalten. Dabei besticht sie durch ihre einfache Syntax: Sie rufen lediglich die Funktion mit dem gewünschten Ausdruck als Parameter auf.

Ein wichtiger Hinweis: expand() arbeitet mit symbolischer Mathematik. Das bedeutet, Sie müssen zuerst sicherstellen, dass die Variablen in Ihrem Polynom oder Ausdruck als Symbole definiert sind.

Ein Beispiel macht das Ganze vielleicht verständlicher.

Betrachten Sie das quadratische Binom:

$$ (x+y)^2 $$

Das Binom setzt sich aus den beiden Termen x und y zusammen. Diese beiden Variablen müssen wir als Symbole definieren:

>> syms x y

Danach können wir unser Binom definieren:

>> P = (x+y)^2

Um das Binom auszuklammern, nutzen wir expand() und geben unser Binom als Parameter ein:

>> expand(P)

Das Ergebnis lautet:

ans =
x^2 + 2*x*y + y^2

Das entspricht der ausmultiplizierten Form des quadratischen Binoms.

$$ (x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2 $$

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an.

Gegeben ist der algebraische Ausdruck:

$$ (2x + 3y)^3 + (4x - 2y)^3 $$

Wieder definieren wir x und y als Symbole.

>> syms x y

Anschließend legen wir unseren Ausdruck fest.

>> E = (2*x+3*y)^3 + (4*x-2*y)^3

Um den Ausdruck zu entfalten, nutzen wir wieder expand().

>> expand(E)

Das Ergebnis:

ans =
72*x^3 - 60*x^2*y + 102*x*y^2 + 19*y^3

Das ist die vollständig ausmultiplizierte Form des gegebenen Ausdrucks.

$$ 72x^3 - 60x^2y + 102xy^2 + 19y^3 $$

Wenn Sie das Resultat überprüfen möchten, können Sie die algebraischen Berechnungen natürlich manuell durchführen. Doch ich kann Ihnen versichern, dass MATLAB in dieser Hinsicht äußerst präzise ist. Der gegebene mathematische Beweis bestätigt dies. $$ (2x + 3y)^3 + (4x - 2y)^3 = $$ $$ = (2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y + 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 + (3y)^3 + \\ \ \ \ +(4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (-2y) + 3 \cdot (4x) \cdot (-2y)^2 + (-2y)^3 $$ $$ = 8x^3+ 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3 +64x^3 - 96 x^2y + 48xy^2 -8y^3 $$ $$ = (8x^3+64x^3)+ (36x^2y- 96 x^2y) + (54xy^2 + 48xy^2) + (27y^3-8y^3) $$ $$ = 72x^3 - 60 x^2y + 102xy^2+ 19y^3 $$