Unbestimmtes Integral in Matlab
Ich möchte Ihnen auf eine verständliche und klare Weise erläutern, wie Sie mit Matlab unbestimmte Integrale berechnen können.
Zunächst zu den mathematischen Grundlagen: Das unbestimmte Integral ist in der Mathematik das Gegenstück zur Ableitung. Wird ein unbestimmtes Integral abgeleitet, so erhält man die ursprüngliche Funktion zurück. Man kennzeichnet es durch das Symbol ∫ und liest es als "Integral von". $$ \int f(x) \ dx = F(x)+c $$ Hierbei ist c eine willkürliche Konstante. In einfacheren Worten: Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist eine solche Funktion F(x), dass deren Ableitung, ergänzt um die Konstante c, genau f(x) ergibt.
Das Integral eines Polynoms
Für die Berechnung des unbestimmten Integrals einer Polynomfunktion in Matlab steht uns die Funktion "polyint" zur Verfügung.
polyint(P)
Sie nimmt ein Array von Koeffizienten des Polynoms in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten als Argument.
Ein Beispiel zur Veranschaulichung:
Gegeben sei die Polynomfunktion
$$ P(x) = 2x^3 + 4x + 3 $$
Zur Berechnung ihres unbestimmten Integrals definieren wir ein Array "P", das die Koeffizienten des Polynoms beinhaltet.
>> P = [2 0 4 3]
Das erste Element des Arrays repräsentiert den Koeffizienten des Terms höchsten Grades, das zweite den des nächsthöheren Grades und so fort.
Das unbestimmte Integral von P(x) erhalten wir durch den Aufruf der Funktion polyint mit "P" als Argument.
>> polyint(P)
Als Ergebnis bekommen wir ein Array mit den Koeffizienten der Stammfunktion. Im gegebenen Fall [0.5 0 2 3 0].
ans =
0.50000 0.00000 2.00000 3.00000 0.00000
Was uns sagt, dass das unbestimmte Integral von P(x) folgendermaßen aussieht:
$$ \int 2x^3 + 4x+3 \ dx = \frac{1}{2} x^4 + 2x^2 + 3x + c $$
Die Konstante c muss separat hinzugefügt werden.
Integration einer Funktion
Zur Berechnung des Integrals einer allgemeinen mathematischen Funktion in Matlab nutzen wir die Funktion int().
int(f,dx)
Diese hat zwei Argumente:
- "f" steht für den mathematischen Ausdruck der Funktion, wobei unbekannte Variablen als Symbole definiert werden müssen.
- "dx" gibt die Integrationsvariable an.
Wird das zweite Argument weggelassen, nimmt Matlab an, dass "x" die Integrationsvariable ist. Die Funktion int() arbeitet mit symbolischer Mathematik. Daher müssen Variablen zuvor mit dem Befehl "syms" als Symbole definiert werden.
Ein Beispiel hierfür ist das unbestimmte Integral der Funktion f(x)=1/x:
$$ \int \frac{1}{x} \ dx $$
Zuerst definieren wir das Symbol "x":
>> syms x
Nun berechnen wir mit der int()-Funktion das Integral:
>> int(1/x)
Das Ergebnis ist der natürliche Logarithmus von x.
ans = log(x)
Das unbestimmte Integral der Funktion f=1/x ist log(x).
$$ \int \frac{1}{x} \ dx = \log(x) + c $$
Die Konstante "c" wird als implizit betrachtet und muss manuell hinzugefügt werden.
Was ist mit einer Funktion mit zwei oder mehr Variablen?
Für Funktionen mit mehreren Variablen sollte man die Integrationsvariable explizit angeben.
Zum Beispiel für die Funktion f(x,y)=x2y2 und das Integral über y:
$$ \int x^2y^2 \ dy $$
Hierzu definieren wir die Symbole "x" und "y":
syms x y
Und berechnen das Integral in Bezug auf y:
>> int(x^2*y^2,y)
Das Resultat ist:
(x^2*y^3)/3
Das unbestimmte Integral lautet demnach:
$$ \int x^2y^2 \ dy = \frac{x^3y^3}{3} $$
Indem Sie diesen Schritten folgen, können Sie jedes unbestimmte Integral in Matlab bestimmen.
Ich hoffe, diese Erläuterungen waren Ihnen hilfreich.
