Wie man Ableitungen in Matlab berechnet

Lassen Sie mich Ihnen erklären, wie man Ableitungen mit Matlab berechnet.

Was ist eigentlich eine Ableitung? Nun, eine Ableitung einer Funktion misst die Geschwindigkeit, mit der sich die Funktion an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs ändert. Dies ist ein äußerst nützliches Werkzeug, um zu verstehen, wie sich eine Funktion verhält, ob sie steigt oder fällt und sogar um die Maximal- und Minimalpunkte der Funktion zu finden.

Ableitungen spielen auch eine entscheidende Rolle in der mathematischen Analyse und sind somit ein grundlegendes Konzept, das man verstehen sollte.

Ableitung eines Polynoms

Um die Ableitung eines Polynoms zu berechnen, können Sie die Funktion polyder() verwenden.

polyder(y)

Der Parameter y der Funktion ist ein Array mit den numerischen Koeffizienten des Polynoms.

Hier ein praktisches Beispiel.

Betrachten Sie dieses Polynom:

$$ P(x) = 2x^3 + 4x + 3 $$

Definieren Sie ein Array mit den numerischen Koeffizienten des Polynoms, geordnet nach Grad.

>> P = [2 0 4 3]

Wenn dieser letzte Schritt nicht klar ist, empfehle ich Ihnen, zuerst die Lektion über die Definition eines Polynoms in Matlab zu lesen

Nun berechnen Sie die Ableitung des Polynoms mit der Funktion polyder()

>> polyder(P)

Das Ergebnis ist die erste Ableitung des Polynoms.

ans = 6 0 4

Daher ist die erste Ableitung des Polynoms:

$$ P'(x) = \frac{d \ P(x)}{dx} = 6x^2 + 4 $$

Das Polynom besteht aus der Summe von Monomen. Um die Ableitung des Polynoms zu berechnen, müssen Sie lediglich die Summe der ersten Ableitungen der einzelnen Monome berechnen. $$ P'(x) = \frac{d \ ( 2x^3 + 4x + 3)}{dx} = \frac{ d \ 2x^3}{dx} + \frac{d \ 4x}{dx} + \frac{d \ 3}{dx} = 6x^2 + 4 + 0 $$

Und wie berechnen Sie die zweite Ableitung?

Um die zweite Ableitung des Polynoms zu berechnen, können Sie die Funktion polyder() mehrmals auf das Ergebnis anwenden:

>> d1=polyder(P);
>> d2=polyder(d1)

Alternativ können Sie eine zusammengesetzte Funktion erstellen:

>> polyder(polyder(P))

In beiden Fällen ist das Endresultat die zweite Ableitung des Polynoms.

ans = 12 0

Die zweite Ableitung des Polynoms ist:

$$ P''(x) = 12x $$

Mit derselben Technik können Sie die dritte, vierte oder nth Ableitung des Polynoms berechnen.

Ableitung einer Funktion finden

Um die Ableitung einer Funktion mit einer oder mehreren Variablen zu berechnen, verwenden Sie die Funktion diff().

diff(funktion, variable, grad)

Die diff()-Funktion hat drei Parameter:

• Der erste Parameter ist der Ausdruck der Funktion.
• Der zweite Parameter ist die Variable, nach der Sie ableiten möchten (z.B. x, y, etc.).
• Der dritte Parameter ist der Grad der Ableitung (erste Ableitung, zweite Ableitung, dritte Ableitung usw.).

Der zweite und dritte Parameter sind optional. Wenn Sie die Ableitungsvariable im zweiten Parameter nicht angeben, verwendet die diff()-Funktion standardmäßig das Symbol der Variablen x. Wenn Sie den Grad der Ableitung nicht angeben, berechnet die diff()-Funktion standardmäßig die erste Ableitung. Die diff()-Funktion basiert auf symbolischer Berechnung, daher müssen Sie die Variablen zuerst über die Anweisung syms als Symbole definieren.

Lassen Sie mich Ihnen ein praktisches Beispiel geben.

Betrachten Sie die Funktion x³+x²+x mit einer Variablen:

$$ f(x) = x^3 + x^2 + x $$

Definieren Sie das Symbol der Variablen x:

syms x

Um die erste Ableitung der Funktion zu berechnen, geben Sie ein:

diff(x^3+x^2+x,x,1)

Die Funktion hat drei Parameter:

• Der erste Parameter (x^3+x^2+x) ist der Ausdruck der Funktion.
• Der zweite Parameter (x) ist die Ableitungsvariable.
• Der dritte Parameter (1) ist der Grad der Ableitung.

Im Funktionsausdruck ist der Exponentierungsoperator ^.

Die diff()-Funktion berechnet die erste Ableitung der Funktion bezüglich der Variable x.

ans =

3*x^2 + 2*x + 1

Daher ist die erste Ableitung der Funktion:

$$ f'(x) = 3x^2 +2x+1 $$

Nun berechnen wir die zweite Ableitung derselben Funktion.

Um dies zu tun, müssen Sie nur 2 im letzten Parameter der diff()-Funktion angeben:

diff(x^3+x^2+x,x,2)

Das Ergebnis ist die zweite Ableitung der Funktion.

ans =

6*x + 2

Daher ist die zweite Ableitung der Funktion:

$$ f''(x) = 6x +2 $$

Nun berechnen wir die dritte Ableitung.

Geben Sie dieselbe diff()-Funktion ein, aber ändern Sie den letzten Parameter zu 3.

diff(x^3+x^2+x,x,3)

Das Ergebnis ist die dritte Ableitung der Funktion.

ans =

6

Daher ist die dritte Ableitung der Funktion:

$$ f^{(3)}(x) = 6x +2 $$

Partielle Ableitungen

Auch partielle Ableitungen einer Funktion können in Matlab berechnet werden.

Was ist eine partielle Ableitung? Eine partielle Ableitung ist eine Ableitung einer Funktion mit zwei oder mehr Variablen in Bezug auf nur eine ihrer Variablen, während die anderen Variablen konstant gehalten werden.

Zum Beispiel, betrachten Sie diese Funktion mit zwei Variablen:

$$ f(x,y) = x^2 y^2 $$

Definieren Sie Symbole für beide unabhängigen Variablen x und y:

syms x y

Nun berechnen Sie die erste partielle Ableitung der Funktion x²y² in Bezug auf die Variable x:

diff(x^2*y^2,x,1)

Das Ergebnis ist die erste partielle Ableitung der Funktion.

ans

2*x*y^2

Daher ist die erste partielle Ableitung der Funktion in Bezug auf x:

$$ \frac{\partial \ f(x,y)}{\partial x} = 2xy^2 $$

Nun berechnen Sie die erste partielle Ableitung der Funktion x²y² in Bezug auf die Variable y.

diff(x^2*y^2,y,1)

Das Ergebnis ist die erste partielle Ableitung der Funktion.

ans

2*x^2*y

Daher ist die erste partielle Ableitung der Funktion in Bezug auf die Variable y:

$$ \frac{\partial \ f(x,y)}{ \partial y} = 2x^2y $$

Mit dieser Methode können Sie die partiellen Ableitungen jeder Funktion mit zwei oder mehr Variablen in Matlab berechnen.