Differentialgleichungen mit Matlab

Lassen wir uns über Differentialgleichungen in Matlab unterhalten.

Differentialgleichungen sind ein zentrales Thema in der Mathematik. Aber was genau sind sie? Vereinfacht ausgedrückt handelt es sich um Gleichungen, in denen eine unbekannte Funktion y(x) in Abhängigkeit von ihren Ableitungen bezüglich einer oder mehrerer unabhängiger Variablen steht. Als Beispiel nehmen wir die Differentialgleichung: $$ y''(x)+y'(x)=0 $$ Hierbei ist y(x) die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen, y'(x) und y''(x), sind gegeben. Das Ziel ist es, die Funktion y(x) zu ermitteln.

Nun zur Anwendung in Matlab.

Betrachten wir erneut die Differentialgleichung:

$$ y''(x)+y'(x)=0 $$

Zunächst definieren wir das Symbol für die unbekannte Funktion y(x) mittels der syms-Funktion:

syms y(x)

Im nächsten Schritt formulieren wir die Differentialgleichung y''(x)+y'(x)=0 und weisen sie der Variable eqz zu. Hierfür nutzen wir die Ableitungsfunktion diff()

Die erste Ableitung y'(x) wird als diff(y,x,1) und die zweite Ableitung y''(x) als diff(y,x,2) dargestellt:

eqz = diff(y,x,2) + diff(y,x,1) == 0

Ein wichtiger Hinweis: Bei der Definition der Differentialgleichung wird der Vergleichsoperator "==" verwendet, um das Gleichheitszeichen in der mathematischen Gleichung darzustellen.

Zum Abschluss lösen wir die Differentialgleichung mit Hilfe der dsolve()-Funktion:

dsolve(eqz)

Das Resultat von dsolve() ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, welche die Form C1+C2*exp(-x) annimmt. Hierbei sind C1 und C2 beliebige Konstanten und exp() bezeichnet die Exponentialfunktion.

C1+C2*exp(-x)

Die Lösung der Differentialgleichung lautet also:

$$ y(x) = c_1 + c_2e^{-x} $$

Mit dieser Vorgehensweise können Sie in Matlab systematisch und effizient die allgemeine Lösung sowohl von homogenen als auch von inhomogenen Differentialgleichungen jeglicher Ordnung ermitteln.