Das charakteristische Polynom einer Matrix in Matlab

In dieser Lektion werde ich Ihnen zeigen, wie Sie das charakteristische Polynom einer Matrix in Matlab berechnen können.

Was versteht man unter einem charakteristischen Polynom? Es ist die Determinante der Matrix, die entsteht, wenn man von einer quadratischen Matrix A eine Einheitsmatrix Idn gleicher Größe (n) abzieht, multipliziert mit einer Variablen Lambda (λ). $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ Dieses Polynom ist ein wichtiges Werkzeug zur Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix.

Sehen wir uns dazu ein praktisches Beispiel an.

Erstellen Sie eine 2x2 Quadratmatrix und speichern Sie diese in der Variablen M.

>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1

Diese Matrix besteht aus zwei Zeilen und zwei Spalten.

$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Um das charakteristische Polynom der Matrix M zu berechnen, verwenden Sie die Funktion poly(M)

>> poly(M)
ans =
1 -3 2

Die Funktion gibt als Ergebnis eine Zahlenfolge aus: 1, -3, 2.

Diese Zahlen sind die Koeffizienten der Lambda (λ) Variablen im charakteristischen Polynom, sortiert nach abnehmenden Potenzen.

$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda + 2 $$

Hinweis: Der letzte Wert der Reihe ist der Koeffizient der Lambda-Variable zum Grad Null (λ⁰). Der vorletzte Wert entspricht dem Koeffizienten zum Grad Eins (λ¹), und so weiter.

Somit haben Sie das charakteristische Polynom der Matrix M gefunden.

$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

Überprüfung: Führen Sie die Berechnungen manuell durch, um zu bestätigen, dass das Ergebnis korrekt ist. $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ Dies entspricht dem Ergebnis der Funktion poly(M). Das Ergebnis ist somit korrekt.