Eigenwerte in Matlab berechnen
In dieser Lektion werde ich Ihnen zeigen, wie man Eigenwerte in Matlab berechnet.
Was versteht man unter Eigenwerten? Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung einer quadratischen Matrix.
Wir betrachten ein praktisches Beispiel:
Erstellen Sie eine 2x2-Quadratmatrix.
>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3
Um die Eigenwerte dieser Matrix zu berechnen, verwenden Sie die Funktion eig(M).
>> eig(M)
ans =
1
3
Die Eigenwerte dieser quadratischen Matrix sind also 1 und 3.
Überprüfung: Betrachten wir die Matrix M $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$. Das charakteristische Polynom PM(λ) von Matrix M ist die Determinante von M-λ·Id: $$ P_M(λ) = \det(M-\lambda \cdot Id) $$. Hierbei ist M die gegebene Quadratmatrix, Id die Einheitsmatrix derselben Größe und λ eine unbekannte Variable. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - \lambda - 3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ P_M(λ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$ Die charakteristische Gleichung der Matrix, PM(λ) = 0, ergibt sich zu null: $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$ Die Eigenwerte ergeben sich als Lösungen dieser charakteristischen Gleichung, welche hier eine quadratische Gleichung darstellt. $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ Die Eigenwerte der Matrix sind somit 1 und 3. Das Ergebnis stimmt überein.
