Inverse Matrizen in Matlab

In dieser Lektion erkläre ich, wie man mit Matlab die inverse Matrix einer quadratischen oder rechteckigen Matrix berechnet.

Was versteht man unter einer inversen Matrix? Eine Matrix M gilt als invertierbar, wenn es eine weitere Matrix gibt, die als inverse Matrix M^-1 bezeichnet wird. Das Produkt dieser beiden Matrizen ergibt eine Einheitsmatrix, gekennzeichnet durch Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen in allen anderen Positionen. Ein Beispiel hierfür ist $$ M \cdot M^{-1} = I $$

Ich möchte Ihnen nun ein praktisches Beispiel vorstellen.

Definieren wir eine quadratische Matrix mit zwei Zeilen und Spalten.

>> M=[1 2;3 4]
M =
1 2
3 4

Berechnen wir nun die inverse Matrix M^-1 der Matrix M mithilfe der Funktion inv().

>> inv(M)
ans =
-2.00000 1.00000
1.50000 -0.50000

Multipizieren wir die Matrix M mit ihrer inversen Matrix inv(M).

Das Ergebnis ist eine Einheitsmatrix, auch Identitätsmatrix genannt.

>> M*inv(M)
ans =
1.00000 0.00000
0.00000 1.00000

Die inv()-Funktion zur Berechnung der inversen Matrix kann nur angewendet werden, wenn M eine quadratische Matrix ist.

Anmerkung: Nicht alle quadratischen Matrizen sind invertierbar. Beispielsweise ist eine quadratische Matrix mit einer Determinante von Null nicht invertierbar und besitzt keine inverse Matrix. Gibt die inv()-Funktion bei einer nicht invertierbaren Matrix die Fehlermeldung "Warnung: Matrix ist bis zur Arbeitsgenauigkeit singulär" aus, überprüfen Sie nach der Berechnung der inversen Matrix, ob das Produkt M*inv(M) tatsächlich eine Einheitsmatrix ist.

Wie berechnet man die inverse Matrix rechteckiger Matrizen?

Auch die inverse Matrix einer rechteckigen Matrix lässt sich in Matlab berechnen.

Dazu nutzen Sie die Pseudoinverse-Funktion pinv().

Definieren wir beispielsweise eine rechteckige Matrix M2

>> M2=[1 2 3 ; 4 5 6]
M2 =
1 2 3
4 5 6

Dies ist eine 2x3-Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten.

Berechnen wir jetzt die inverse Matrix von M2 mithilfe der Funktion pinv().

>> pinv(M2)
ans =
-0.94444 0.44444
-0.11111 0.11111
0.72222 -0.22222

Matlab gibt die inverse Matrix von M2 zurück.

Um sicherzugehen, dass es sich um die korrekte inverse Matrix handelt, multiplizieren Sie die rechteckige Matrix M2 mit ihrer inversen Matrix pinv(M2).

>> M2*pinv(M2)
ans =
1.00000 -0.00000
0.00000 1.00000

Das Produkt M*pinv(M2) ergibt eine Einheitsmatrix, was das korrekte Ergebnis ist.

Anmerkung: In Matlab kann die pinv()-Funktion sowohl für quadratische als auch für rechteckige Matrizen verwendet werden. Daher ist es möglich, pinv() anstelle von inv() zu verwenden, wenn die Matrix quadratisch ist, wobei das Ergebnis das gleiche bleibt.

Die inv()-Funktion ist hingegen ausschließlich für quadratische Matrizen anwendbar.