Rang einer Matrix in Matlab

In dieser Lektion erkläre ich, wie Sie den Rang einer Matrix in Matlab bestimmen können.

Was versteht man unter dem Matrixrang? Der Rang einer Matrix entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten in dieser Matrix. Er gibt die Dimension des durch die Spaltenvektoren gebildeten Vektorraums an. Betrachten wir zum Beispiel eine Matrix mit nur einer linear unabhängigen Spalte, so beträgt ihr Rang 1: $$ Rang \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ Dies ist der Fall, da die beiden Spaltenvektoren linear voneinander abhängen und einer als das Vielfache des anderen dargestellt werden kann: $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Sehen wir uns nun ein praxisbezogenes Beispiel an.

Erstellen Sie eine 3x3-Matrix mit je drei Zeilen und Spalten:

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Um den Rang dieser Matrix zu ermitteln, nutzen Sie einfach den Befehl rank(M).

>> rank(M)
ans = 2

Der Rang der Matrix beträgt 2.

Überprüfung. Sie können eine manuelle Überprüfung durchführen, um das Ergebnis zu bestätigen. Die Determinante einer 3x3-Matrix ergibt null: $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ Folglich kann der Rang der Matrix nicht 3 sein. Untersuchen Sie anschließend, ob es eine 2x2-Untermatrix mit einer Determinante ungleich null gibt. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Diese Untermatrix hat eine von null verschiedene Determinante, was bestätigt, dass der Rang der Matrix M 2 ist.