Dreiecksmatrizen in Matlab

In dieser Unterrichtseinheit zeige ich Ihnen, wie man Dreiecksmatrizen in Matlab erstellt.

Was versteht man unter Dreiecksmatrizen? Eine quadratische Matrix wird als Dreiecksmatrix bezeichnet, wenn ihre Nicht-Null-Elemente ausschließlich auf der Hauptdiagonale und entweder darüber (obere Dreiecksmatrix) oder darunter (untere Dreiecksmatrix) angeordnet sind. Die übrigen Elemente der Matrix sind Null. Diese Matrix ist ein Beispiel für eine untere Dreiecksmatrix: $$ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$ Und hier sehen Sie ein Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix: $$ T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} $$

Lassen Sie uns das Ganze anhand eines praxisnahen Beispiels veranschaulichen.

Erstellen Sie zuerst eine 3x3 Quadratmatrix mit drei Zeilen und drei Spalten.

>> M=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Mit dem Befehl triu(M) verwandeln Sie die Quadratmatrix M in eine obere Dreiecksmatrix.

Die Funktion triu() setzt alle unterhalb der Hauptdiagonale liegenden Elemente der Matrix M auf Null.

>> triu(M)
ans =
1 2 3
0 5 6
0 0 9

Mit dem Befehl tril(M) können Sie die Matrix M in eine untere Dreiecksmatrix umwandeln.

Die Funktion tril() setzt alle oberhalb der Hauptdiagonale befindlichen Elemente der Matrix M auf Null.

>> tril(M)
ans =
1 0 0
4 5 0
7 8 9

Auf diese Weise können Sie aus einer Quadratmatrix beliebiger Größe sowohl obere als auch untere Dreiecksmatrizen erzeugen.

In Matlab ist es zudem möglich, die Funktionen triu() und tril() auch auf rechteckige Matrizen anzuwenden.

Betrachten wir als Beispiel die Erstellung einer 3x4 Rechteckmatrix mit drei Zeilen und vier Spalten.

>> M2=[1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3]
M2 =
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3

Nach Eingabe von triu(M2) und Betätigung der Eingabetaste.

Erzeugt die Funktion eine neue rechteckige Matrix, indem sie die unterhalb der Diagonale, beginnend vom oberen linken Element, liegenden Elemente auf Null setzt.

>> triu(M2)
ans =
1 1 1 1
0 2 2 2
0 0 3 3

Geben Sie tril(M2) ein, um das gegenteilige Ergebnis zu erzielen.

In diesem Fall werden die Elemente der Matrix oberhalb der Diagonale auf Null gesetzt.

>> tril(M2)
ans =
1 0 0 0
2 2 0 0
3 3 3 0