Charakteristisches Polynom mit Octave berechnen
In dieser Anleitung zeige ich Ihnen, wie Sie das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix mit Octave berechnen können.
Zunächst einmal, was ist das charakteristische Polynom? Es lässt sich für eine quadratische Matrix A mithilfe der folgenden Formel berechnen: $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ Dieses Polynom entspricht der Determinante der Differenz zwischen einer quadratischen Matrix A und einer Einheitsmatrix Idn gleichen Ranges (n), multipliziert mit einer Variable Lambda (λ). Warum ist das nützlich? Das charakteristische Polynom spielt eine zentrale Rolle bei der Berechnung von Eigenwerten.
Lassen Sie uns dies anhand eines praktischen Beispiels verdeutlichen.
Erstellen Sie zunächst eine quadratische Matrix und speichern Sie diese in der Variable M:
>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1
In diesem Fall haben wir es mit einer 2x2-Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten zu tun.
$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Geben Sie dann poly(M) ein, um das charakteristische Polynom der Matrix M zu ermitteln:
>> poly(M)
ans =
1 -3 2
Das Ergebnis ist eine Liste von Zahlen: 1, -3, 2
Diese repräsentieren die Koeffizienten der Lambda-Variablen (λ) im charakteristischen Polynom
$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$
Bitte beachten Sie: Die Zahlen in der Liste entsprechen den Koeffizienten der Lambda-Variablen (λ), sortiert in absteigender Reihenfolge nach Grad. Die letzte Zahl in der Sequenz ist der Koeffizient des Terms nullten Grades (λ0), die vorletzte Zahl repräsentiert den Koeffizienten des Terms ersten Grades (λ1) und so weiter.
$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$
$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Das Ergebnis dieser Rechnung ist das charakteristische Polynom der Matrix M.
$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Lassen Sie uns nun die Richtigkeit unserer Berechnung überprüfen: Die schrittweise Berechnung des charakteristischen Polynoms sieht wie folgt aus: $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ Das Ergebnis bestätigt unsere vorherige Berechnung. Es entspricht dem charakteristischen Polynom, das wir mit der Funktion poly(M) berechnet haben.
