Rang einer Matrix in Octave

In der vorliegenden Lektion werde ich Ihnen darlegen, wie der Rang einer Matrix in Octave zu berechnen ist.

Beginnen wir mit der Frage: Was versteht man unter dem Rang einer Matrix? Der Rang einer Matrix ist die größtmögliche Anzahl von linear unabhängigen Zeilen oder Spalten in der Matrix. Er entspricht der Dimension des durch die Spaltenvektoren erzeugten Vektorraums. Nehmen wir beispielsweise diese Matrix: Sie hat lediglich eine linear unabhängige Spalte $$ rank \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ Der Grund hierfür liegt darin, dass die beiden in der Spalte vorliegenden Vektoren linear voneinander abhängig sind. Jeder Spaltenvektor kann als Vielfaches des anderen ausgedrückt werden $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Nun folgt ein praktisches Beispiel, um das Konzept zu verdeutlichen.

Wir definieren eine 3x3 Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten und weisen diese der Variable M zu

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Um den Rang der Matrix zu bestimmen, verwenden wir die Funktion rank(M)

>> rank(M)
ans = 2

Die Matrix hat also den Rang 2.

Lassen Sie uns dies verifizieren: Die Determinante der 3x3 Matrix ist null $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ Das heißt, die Matrix kann nicht den Rang 3 haben. Nun gilt es zu prüfen, ob es eine 2x2 Teilmatrizen in der Matrix gibt, deren Determinante ungleich null ist. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Mindestens eine 2x2 Teilmatrizen hat eine Determinante, die nicht null ist. Daraus folgt, dass der Rang der Matrix M gleich 2 ist.