Eigenwerte einer Matrix in Octave

In dieser Lektion werde ich Ihnen erklären, wie Sie die Eigenwerte einer Matrix in Matlab berechnen können.

Was sind Eigenwerte? Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung, die mit einer quadratischen Matrix assoziiert ist.

Ich werde Ihnen ein praktisches Beispiel geben.

Erstellen Sie eine quadratische 2x2-Matrix und weisen Sie sie der Variablen M zu.

>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3

Geben Sie den Befehl "eig(M)" in der Kommandozeile ein, um die Eigenwerte der quadratischen Matrix M zu berechnen.

>> eig(M)
ans =
1
3

Die Eigenwerte der quadratischen Matrix M sind die Skalare 1 und 3.

Überprüfung: Lassen Sie uns prüfen, ob das Ergebnis korrekt ist. Die in diesem Beispiel verwendete quadratische Matrix lautet wie folgt: M $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ Das charakteristische Polynom PM(λ) der Matrix M wird durch die Determinante von M-λ · Id definiert: $$ P_M(λ) = \det(M-\lambda \cdot Id) $$ Dabei ist M die quadratische Matrix, Id eine Einheitsmatrix derselben Ordnung und λ eine unbekannte Variable. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - \lambda - 3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ P_M(λ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$ Die charakteristische Gleichung der Matrix ergibt sich, indem man das charakteristische Polynom P(x) = 0 gleich null setzt: $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$ Die Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung. In diesem Fall handelt es sich um eine Gleichung zweiten Grades: $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ Zusammenfassend sind die Eigenwerte der Matrix M die Skalare 1 und 3. Das Ergebnis ist korrekt.