Rationale Näherung in Matlab
In dieser Lektion gehe ich auf die Funktionsweise und die Anwendung der rationalen Näherung in Matlab ein.
Was verstehen wir unter rationaler Näherung? Es ist ein Verfahren, das es ermöglicht, reelle Zahlen entweder als Brüche oder als Summe von Brüchen, also rationale Ausdrücke, darzustellen.
Um die rationale Näherung zu nutzen, geben Sie einfach den Befehl rat() ein:
rat(n)
Dabei steht der Parameter n für einen reellen Zahlenwert.
Wie funktioniert das Ganze?
Die rationale Näherung verwandelt eine reelle Zahl n in eine Summe von Brüchen:
- Ist die reelle Zahl (n) eine rationale Zahl, entspricht die Summe der Brüche exakt dieser Zahl.
- Handelt es sich bei der reellen Zahl (n) um eine irrationale Zahl, so ergibt die Summe der Brüche eine Näherung an diese Zahl.
Was unterscheidet rationale von irrationalen Zahlen? Reelle Zahlen können sowohl positiv als auch negativ sein und mit oder ohne Dezimalstellen auftreten, wie zum Beispiel 3,3 oder 4,138. Sie lassen sich in rationale und irrationale Zahlen untergliedern. Rationale Zahlen sind diejenigen, die sich als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, m/q $$ n = \frac{m}{q} $$ Die Zahl 2,5 beispielsweise ist rational, da sie als Bruch 5/2 ausgedrückt werden kann. Irrationale Zahlen hingegen können nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden, wie etwa die Kreiszahl Pi (π).
Lassen Sie uns das an einem Beispiel veranschaulichen.
Wir möchten die reelle Zahl 1,2 mithilfe der Funktion rat(1.2) annähern.
>> rat(1.2)
Matlab führt die Näherung durch und präsentiert das Ergebnis als Summe von Brüchen:
ans = 1 + 1/5
In diesem Fall stimmt die Summe der Brüche exakt mit der reellen Zahl überein, da 1,2 eine rationale Zahl ist.
Die Zahl 1,2 lässt sich als Verhältnis zweier ganzer Zahlen formulieren, was sie zur rationalen Zahl macht. Sie entspricht $$ 1.2 = \frac{12}{10}$$ und kann auch als 1+1/5 ausgedrückt werden $$ 1.2 = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0.2 $$
Jetzt wollen wir die Kreiszahl Pi annähern, die ungefähr 3,1416 beträgt.
In Matlab können Sie dafür die Funktion "rat" wie folgt nutzen:
>> rat(3.1416)
Matlab liefert eine Näherung der Zahl als Summe von Brüchen:
ans = 3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/11))
Da Pi eine irrationale Zahl ist, erhalten wir hier eine rationale Näherung.
Pi lässt sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen.
Wie wird die standardmäßige rationale Näherung aktiviert?
Möchten Sie, dass in der aktuellen Sitzung alle Ergebnisse standardmäßig als rationale Näherung ausgegeben werden, verwenden Sie den Befehl format rat
>> format rat
Nun werden sämtliche Ergebnisse automatisch als rationale Näherungen angezeigt, selbst ohne die Funktion "rat()" zu nutzen.
Ein Beispiel:
>> 3.3
ans = 33/10
Um zum Standardformat zurückzukehren, geben Sie einfach den Befehl format ein.
